Apêndice A - Conceitos de Análise no \(R^n\)
Durante o desenvolvimento dos resultados do texto, tais como a obtenção da equação de Euler-Lagrange, é necessário o uso de alguns conceitos e resultados de Análise no \(\mathbb{R}^n\). Estes conceitos serão trabalhados neste apêndice, tomando como referência \citeonline{analise_elon2}.
Seja \(f:X\times K \longrightarrow \mathbb{R}^n\) contínua, onde \(X\subset \mathbb{R}^m\), para algum \(m\), e \(K\) é compacto. Fixemos \(x_0 \in X\). Para todo \(\varepsilon > 0\), existe um \(\delta > 0\) tal que \(x\in X\), \(|x-x_0|<\delta \Longrightarrow |f(x, \alpha)-f(x_0,\alpha)|<\varepsilon\), seja qual for \(\alpha \in K\).
Suponha que o teorema não seja válido, então existiriam \(\varepsilon > 0\) e sequências de pontos \(x_k\in X\), \(\alpha_k \in K\) tais que \(|x_k-x_0|<\frac{1}{k}\) e \(|f(x_k,\alpha_k)-f(x_0,\alpha_k)|\geqslant \varepsilon\). Passando a uma subsequência, se necessário e admitindo que \(\lim \alpha_k=\alpha \in K\), devido ao fato de que o conjunto \(K\) é compacto.
Como, \(|x_k-x_0|<\frac{1}{k}\), \(-\frac{1}{k}<x_k-x_0<\frac{1}{k}\), então, \(x_0-\frac{1}{k}<x_k<x_0+\frac{1}{k}\), e, como \(\lim \left (x_0-\frac{1}{k} \right ) = x_0\) e \(\lim \left ( x_0 + \frac{1}{k} \right )=x_0\), então, \(\lim x_k=x_0\). Devido a continuidade de \(f\) tem-se \(\varepsilon \leqslant \lim |f(x_k,\alpha_k)-f(x_0,\alpha _k)|=|f(x_0,\alpha)-f(x_0,\alpha)|=0\), uma contradição, pois da hipótese \(\varepsilon >0\).
(Derivação sob o sinal de integral ou Regra de Leibniz) Dado \(U\subset \mathbb{R}^n\), aberto, seja \(f:U\times[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}\) uma função com as seguintes propriedades:
- Para todo \(x \in U\), a função \(x \longmapsto f(x,t)\) é integrável em \(a \leqslant t \leqslant b\).
- A \(i\)-ésima derivada parcial \(\frac{\partial f}{\partial x_i}(x,t)\) existe para cada \((x,t)\in U\times [a,b]\) e a função \(\frac{\partial f}{\partial x_i}:U\times [a,b]\longrightarrow \mathbb{R}\) assim definida é contínua.
Seja o aberto \(U\subset\mathbb{R}^n\). Uma função \(f:U\longrightarrow\mathbb{R}\) é dita de classe \(C^0\) quando é contínua. Diz-se, também, que \(f:U\longrightarrow\mathbb{R}\) é de classe \(C^1\) quando existem, em cada ponto \(x\in U\), as derivadas parciais \(\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(x)\), \(\dots\), \(\dfrac{\partial f}{\partial x_n}(x)\) e, as \(n\) funções \(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}:U\longrightarrow \mathbb{R}\), assim definidas, são contínuas. Mais geralmente, uma função \(f:U\longrightarrow\mathbb{R}\) é dita de classe \(C^k\), onde \(k>0\) é um inteiro, quando ela possuir derivadas parciais em todos os pontos de \(U\) e as funções \(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\), \(\dots\), \(\dfrac{\partial f}{\partial x_n}:U\longrightarrow \mathbb{R}\) forem de classe \(C^{k-1}\).
A Definição é equivalente a dizer que uma função \(f:U\longrightarrow\mathbb{R}\), onde \(U\subset\mathbb{R}^n\), é dita de classe \(C^k\) se todas as suas derivadas parciais até a ordem \(k\) existirem e, ainda, forem todas contínuas. Completando, \(f\) será de classe \(C^0\) caso seja contínua.