Apêndice A - Conceitos de Análise no \(R^n\)

Durante o desenvolvimento dos resultados do texto, tais como a obtenção da equação de Euler-Lagrange, é necessário o uso de alguns conceitos e resultados de Análise no \(\mathbb{R}^n\). Estes conceitos serão trabalhados neste apêndice, tomando como referência \citeonline{analise_elon2}.

Um conjunto \(K\subset \mathbb{R}^n\) é compacto se, e somente se, toda sequência de pontos em \(K\) possui uma subsequência que converge para um ponto de \(K\).

Seja \(f:X\times K \longrightarrow \mathbb{R}^n\) contínua, onde \(X\subset \mathbb{R}^m\), para algum \(m\), e \(K\) é compacto. Fixemos \(x_0 \in X\). Para todo \(\varepsilon > 0\), existe um \(\delta > 0\) tal que \(x\in X\), \(|x-x_0|<\delta \Longrightarrow |f(x, \alpha)-f(x_0,\alpha)|<\varepsilon\), seja qual for \(\alpha \in K\).

Prova

Suponha que o teorema não seja válido, então existiriam \(\varepsilon > 0\) e sequências de pontos \(x_k\in X\), \(\alpha_k \in K\) tais que \(|x_k-x_0|<\frac{1}{k}\) e \(|f(x_k,\alpha_k)-f(x_0,\alpha_k)|\geqslant \varepsilon\). Passando a uma subsequência, se necessário e admitindo que \(\lim \alpha_k=\alpha \in K\), devido ao fato de que o conjunto \(K\) é compacto.

Como, \(|x_k-x_0|<\frac{1}{k}\), \(-\frac{1}{k}<x_k-x_0<\frac{1}{k}\), então, \(x_0-\frac{1}{k}<x_k<x_0+\frac{1}{k}\), e, como \(\lim \left (x_0-\frac{1}{k} \right ) = x_0\) e \(\lim \left ( x_0 + \frac{1}{k} \right )=x_0\), então, \(\lim x_k=x_0\). Devido a continuidade de \(f\) tem-se \(\varepsilon \leqslant \lim |f(x_k,\alpha_k)-f(x_0,\alpha _k)|=|f(x_0,\alpha)-f(x_0,\alpha)|=0\), uma contradição, pois da hipótese \(\varepsilon >0\).

(Derivação sob o sinal de integral ou Regra de Leibniz) Dado \(U\subset \mathbb{R}^n\), aberto, seja \(f:U\times[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}\) uma função com as seguintes propriedades:

  1. Para todo \(x \in U\), a função \(x \longmapsto f(x,t)\) é integrável em \(a \leqslant t \leqslant b\).
  2. A \(i\)-ésima derivada parcial \(\frac{\partial f}{\partial x_i}(x,t)\) existe para cada \((x,t)\in U\times [a,b]\) e a função \(\frac{\partial f}{\partial x_i}:U\times [a,b]\longrightarrow \mathbb{R}\) assim definida é contínua.
então a função \(\varphi: U\longrightarrow \mathbb{R}\) dada por
\[ \varphi(x)=\int_a^b f(x,t)dt\text{,} \]
possui \(i\)-ésima derivada parcial em cada ponto \(x\in U\), sendo
\[ \frac{\partial \varphi}{\partial x_i}(x)=\int_a^b \frac{\partial f}{\partial x_i}(x,t)dt\text{.} \]

Prova
Considere
\[ \frac{\varphi(x+se_i)-\varphi(x)}{s} = \int_a^b \frac{f(x+se_i, t)-f(x,t)}{s} dt\text{,} \]
de onde subtraindo \(\displaystyle \int_a^b \frac{\partial f}{\partial x_i}(x,t) dt\) de ambos os lados, tem-se
\[ \frac{\varphi(x+se_i)-\varphi(x)}{s} - \int_a^b \frac{\partial f}{\partial x_i}(x,t) dt = \int_a^b \left [ \frac{f(x+se_i, t)-f(x,t)}{s} - \frac{\partial f}{\partial x_i}(x,t) \right ] dt \]
Pelo Teorema do Valor Médio para funções reais, existe \(\theta \in [0,1]\) de modo que
\[ \frac{f(x+se_i,t)-f(x,t)}{s}=\frac{\partial f}{\partial x_i}(x+\theta s e_i,t)\text{,} \]
onde \(\theta \in [0,1]\) garante que \(\theta s\) esteja entre \(]0, s[\), satisfazendo as condições do Teorema do Valor Médio. Assim, de tem-se
\[ \frac{\varphi(x+se_i)-\varphi(x)}{s} - \int_a^b \frac{\partial f}{\partial x_i}(x,t) dt = \int_a^b \left [ \frac{\partial f}{\partial x_i}(x+\theta s e_i, t)-\frac{\partial f}{\partial x_i}(x,t) \right ] dt\text{.} \]
Como \(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\) é contínua e \([a,b]\) é compacto, pelo Teorema , para todo \(\varepsilon > 0\), existe um \(\delta > 0\), de modo que
\[ |s|<\delta \Longrightarrow \left | \frac{\partial f}{\partial x_i} (x+\theta s e_i, t) - \frac{\partial f}{\partial x_i}(x,t) \right | < \frac{\varepsilon}{b-a} \]
seja qual for \(t \in [a,b]\). Usando o fato de que \(\displaystyle \Big |\int_a^b f(x)dx \Big | \leqslant \int_a^b |f(x)| dx\), obtêm-se
\[ \left | \int_a^b \left [ \frac{\partial f}{\partial x_i}(x+\theta s e_i, t)-\frac{\partial f}{\partial x_i}(x,t) \right ] dt \right | \leqslant \int_a^b\left | \frac{\partial f}{\partial x_i}(x+\theta s e_i, t)-\frac{\partial f}{\partial x_i}(x,t) \right | dt\text{,} \]
e, utilizando , tem-se a inequação
\[ \left | \int_a^b \left [ \frac{\partial f}{\partial x_i}(x+\theta s e_i, t)-\frac{\partial f}{\partial x_i}(x,t) \right ] dt \right | < \int_a^b \frac{\varepsilon}{b-a} dt \]
\[ \left | \int_a^b \left [ \frac{\partial f}{\partial x_i}(x+\theta s e_i, t)-\frac{\partial f}{\partial x_i}(x,t) \right ] dt \right | < \varepsilon \text{.} \]
De e , verifica-se que
\[ |s|<\delta \Longrightarrow \left | \frac{\varphi(x+se_i)-\varphi(x)}{s} - \int_a^b \frac{\partial f}{\partial x_i}(x,t) dt \right | < \varepsilon\text{,} \]
que é, a definição formal do limite
\[ \lim_{s\to 0} \frac{\varphi (x+se_i)-\varphi(x)}{s}= \int_a^b \frac{\partial f}{\partial x_i} (x, t)dt \text{,} \]
ou seja,
\[ \frac{\partial \varphi}{\partial x_i}(x)=\int _a^b \frac{\partial f}{\partial x_i}(x,t)dt\text{.} \]

Seja o aberto \(U\subset\mathbb{R}^n\). Uma função \(f:U\longrightarrow\mathbb{R}\) é dita de classe \(C^0\) quando é contínua. Diz-se, também, que \(f:U\longrightarrow\mathbb{R}\) é de classe \(C^1\) quando existem, em cada ponto \(x\in U\), as derivadas parciais \(\dfrac{\partial f}{\partial x_1}(x)\), \(\dots\), \(\dfrac{\partial f}{\partial x_n}(x)\) e, as \(n\) funções \(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}:U\longrightarrow \mathbb{R}\), assim definidas, são contínuas. Mais geralmente, uma função \(f:U\longrightarrow\mathbb{R}\) é dita de classe \(C^k\), onde \(k>0\) é um inteiro, quando ela possuir derivadas parciais em todos os pontos de \(U\) e as funções \(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\), \(\dots\), \(\dfrac{\partial f}{\partial x_n}:U\longrightarrow \mathbb{R}\) forem de classe \(C^{k-1}\).

A Definição é equivalente a dizer que uma função \(f:U\longrightarrow\mathbb{R}\), onde \(U\subset\mathbb{R}^n\), é dita de classe \(C^k\) se todas as suas derivadas parciais até a ordem \(k\) existirem e, ainda, forem todas contínuas. Completando, \(f\) será de classe \(C^0\) caso seja contínua.

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